直播回顾:学而思老师解析2021年高考数学

直播回顾:学而思老师解析2021年高考数学

高考数学向来是备受考生关注的科目,今年高考结束后,微博网友依旧是各式各样的花式讨论。那么,今年高考数学的难度究竟如何呢?相比往年又有哪些变化呢?高一高二的考生在备战高考数学时要吸取哪些经验呢?6月8日晚,新浪教育特约学而思老师付恒岩做客新浪直播间,在高考数学结束后第一时间与广大考生和家长聊聊2021高考数学真题,并做解读和分析,同时给未来的高考学生提供实用的方法和技巧。以下为本次直播实录

主持人:Hello大家好,欢迎进入高考直播间,我是主持人雯旭。2021高考进入第二天,1078万考生也正在经历着属于他们的人生大考。新浪教育、微博教育邀您共同见证“为考生祝福,为梦想加油”。作为全国人民共同关注的年度大考,每一年的高考都牵动无数人的心,为了帮助考生深入了解真题、精准估分,同时帮助在校高中生了解高考命题趋势,今天我们特别邀请到了来自学而思网校的数学老师付恒岩老师来为我们进行2021高考数学的精彩解读。付老师好,请您先为我们做一个简单的自我介绍。

付恒岩:主持人好,今天简单说一下,我是来自学而思网校高中数学的主讲老师,我的名字叫付恒岩,非常欢迎各位同学、各位家长、各位网友来到今天的直播现场。

主持人:欢迎付老师,在正式开始之前,请您分享您当年的高考经历。

付恒岩:想一想我当年高考到现在已经过去了刚好10年,因为那一年是2011年,今年是2021年。十年前的高考,当时我考的是全国二卷,高考数学的成绩最终是147分。

其实当时是战战兢兢等待这个成绩。因为那个时候我们考全国二卷还是要估分的,自己当时数学答完卷觉得不是特别满意,但是最后数学成绩出来觉得还是……

主持人:您当时还觉得不满意。

付恒岩:是的。

主持人:要求太高了。

付恒岩:因为高中的阶段我可能并不是在班级里学习特别突出的孩子,和在座的很多同学一样,也并不是班级里特别拔尖的孩子。但是我觉得只要你肯努力,相信大家的数学成绩一定是可以提升上去的。尤其是很多孩子在高一、高二阶段基础并没有打得特别牢,但是在高三冲刺的阶段一定可以完成逆袭的。

主持人:只要努力一切都是有可能。

付恒岩:是的。

主持人:话不多说,马上进入正式的解析。

付恒岩:没问题。接下来就到了我的环节,我们来看一下今年高考的情况。很多同学对于高考试卷不是很了解,不知道哪些省份考哪些。我们今年在试卷上做了一些调整,比如以前的全国一卷和全国二卷今年统称全国乙卷,以前考全国三卷的地方今年叫全国甲卷,省份没有变,还是西南的同学们。今年又有很多新省份加入到了新高考当中包括新高考一卷、新高考二卷,像山东、广东这些省份都加入进来。整体来说就变成了甲卷、乙卷分文理,新高考一二不分文理,一共六套卷。当然还有几个自主命题的,比如北京、天津、上海、浙江。

接下来简单说一下,我们最近这几年高考试题的整体趋势是做一个非常大的调整和变化,数学卷在这几年的高考当中最主要突出的一个点还是创新。因为最近这几年国家发展得非常迅速,对同学们的整体要求相对来说更高一些,不仅仅要考察学生数学文化的能力,可能要考察更多其它方面的内容,综合一些。

整个数学学科在今年的高考当中,包括在去年和前年的高考当中的教育功能凸显得非常非常明显。

第一个特点,它的题目背景其实和我们的社会发展是息息相关的,比如2020年疫情导致全国人民生活可能都受到了非常大的影响,在去年的高考当中,因为高考也因为疫情的原因推迟了一个月,去年的高考题当中,基本上在每套卷里都会涉及到和疫情相关的题目背景。比如去年新高考一卷的理科第六题,本质上是利用数学模型去解决实际问题,但是它的题目背景是在新冠疫情期间如何做好科学的防疫工作,需要同学们了解这个背景,从而也增加大家在那段时间集体的感觉,那段时间整个中国人民都非常非常团结,而且大家也是非常响应国家的各种各样的号召,相当于我们每一次出门都要戴口罩、勤洗手、少聚会,那段时间相当于不出门、在家就是为国家做贡献。

付恒岩:包括像全国三卷,相当于我们用这样一个数学模型如何解读它,标志着已经能够遏制住疫情了,相当于给大家这样一个数学模型解决实际的应用问题。

新高考二卷的这道题目当中,疫情常态化之后,后面就开始复产复工,在去年五一前后,很多企业都开始正式复工了,这道题目考察的是同学们对于整个图表的提取信息的能力,从这里面提取出哪些有用的信息,帮助我们去进行选择,进行判断。包括去年全国二卷理科第九题也是同样的道理,本质上是在抗疫期间有志愿者的活动,一方面是考察背景,另外鼓励大家当志愿者,疫情期间我们可能在网上,在电视频道上看到非常多无私奉献的人非常非常伟大。这道题考察的不仅是解决问题的能力,其实还是希望同学们在那段时间有一个共情的感受,每个人都在为国家变得更好而努力着。

昨天高考刚刚结束,中国教育新闻网发布了官方的一个权威测评。它说在今年新高考二卷第4题当中,以我国航天事业的重要成就(北斗三号全球卫星导航系统)为题目设计的一个立体几何的问题。网上有很多小伙伴都在发言,说考察的是面积的问题。当然这道题的真题我到现在还没有见到。

我们简单看一看,这道题就是结合我们在过去这一年当中发生的时事,因为我们在去年年终的时候发射了北斗三号卫星,这是最后一颗,发射上去之后,整个卫星导航系统就可以正式启用了。所以,这个时间节点下,尤其是在今年的高考,考察这个还是非常非常重要的。

2021年乙卷理科第6题以北京的冬奥会志愿者为培训的试题背景。2022年冬奥会马上就要来了,也是一个举国欢庆或者是人人瞩目的一件事情,这道题考察的是大家的逻辑推理能力还有运算的解题能力。今天老师也要说一下,今天我不会去讲解更多真题,更多是做试卷方向的分析,在最后老师会给大家讲两道新高考一卷的题目,提前给大家准备好了一幅图片。当然如果大家特别感兴趣今年各个省市、各个地区每一个学科的试题的真题讲解,也非常欢迎大家可以扫描我们桌子前面的二维码,网校会在高考结束之后推出各个学科、各个卷子的真题解析,非常欢迎大家关注。

2021年新高考一卷18题,“一带一路”的知识背景。我印象当中2019年也有提到过“一带一路”,你会发展经济发展和国家的发展和高考题结合在一起,息息相关,虽然并没有直接在这里涉及到,但是以它为题目背景,让同学们一看到它有一种潜移默化的影响,有民族自豪感。我们的国家确实在变得越来越强大。

这道题考察的是概率统计的基本理解和应用,概率统计部分在2019年、2020年这两年,很多同学都在说这两年的概率问题相对来说难度加大很多,因为它的重要性也不言而喻。我们会发现对于数据分析这方面的能力,社会要求越来越大,尤其是在大数据的时代,可能需要大家有数据分析的意识和能力。

2021年就更加重要,在今年2月份开了脱贫攻坚的表彰大会,最近这几年国家不断地发展,脱贫攻坚的工作也在不断地取得胜利,这部分作为题型,也可以去考察统计概率相关的内容,还是分析问题和数据处理的能力。

简单看一看2021年这道考题,只是作为展示简单说一说。这道题的难度不大,我第一次看到这个题目的时候发现,这就是考察分布列和数学期望的问题,是常规性的考题,但是题目的背景非常关键,是“一带一路”。

正常的解题过程,如果基础掌握比较扎实的同学,对于像概率统计、分布列与数学期望的求解方式,包括怎么样写出满分的步骤,如果这些能注意到,这道题一定能拿到一个非常不错的分数。

第二点,数学学科除了和社会正在发生的事情有关,和文化向融的东西也非常多,体现数学之美。

简单地回顾回顾,相信有很多同学和网友都能想到2019年的时候,第一次见到维纳斯的高考题,给大家做一个展示。

2019年全国一卷文、理科第4题,这道题考察的是和黄金分割比相关的内容,问它的身高可能是多少。这道题不能说作为先河,至少开了这样一个例子,接下来可能我们在2020年也会考察到文化题,包括今年也考察到类似的文化题。当时我跟我自己的学生开玩笑,去年考了维纳斯,接下来考了胡夫金字塔,后面会不会考蒙娜丽莎的微笑。我看后面很多网友评价,蒙娜丽莎微笑的角度是47.7度,让大家先去把这些结论记下来,网友们还是蛮有意思的。

全国卷一理科第6题考察的就是中国古代文化,考察的是周易,考察的是阴幺、阳爻,也就是中国古代的八卦,八卦放在一起形成重卦,到底能生成多少?八八六十四种,可能各不一样。

这道题前段时间因为刚刚给同学们讲过,对这道题的印象还是非常深刻的,这也是蕴含中国古代文化背景的一道题目。

2019全国二卷文、理科第16题,考察金石文化,也是中国古代文化的一个重要的代表。

去年考了胡夫金字塔,2020全国一卷文、理科第3题,很多同学可能看也不看直接选了B选项。因为有前一年的感受,前一年考的维纳斯,考的就是黄金分割比,今年是不是也考的这个,直接选上。建议各位同学千万不要想当然直接做一些题目,可能不小心就跳到坑里。这道题用常规的立体几何的方式求解就完全足够了,也不会特别难。

2020全国二卷理科第4题,这道题目也是我之前在网上看很多同学吐槽最多的题目,考察的是北京天坛的问题,问有多少块地板砖,很多同学可能算不明白。

这道题的背景更加值得深挖,文化能够和我们的数学相融在一起,你会觉得数学不再那么枯燥。有的时候大家可能会潜意识里觉得数学这门学科就是只需要做题,只需要不停地算数,代入计算等等。其实不是的,你会发现数学里面蕴含的美学的知识非常非常多。

今年给出的官方测评,2021乙卷考察9题是魏晋南北朝时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》,测量海岛的高度。2021年新高考一卷第16题,以我国传统文化剪纸艺术为背景,这是属于物质文化遗产,也是非常值得大家关注的。

简单看一下今年出的这两道题目,来源来自于百度文库。

要测量整个海岛的高度,给出了表高、表距还有表目距等等,这是相对来说是解三角形的思想,我们如何把这道题目求解出来。

下面这道题目是传统的剪纸艺术,问不同规格的图形种数。可能有一些学化学的同学甚至有一点感觉这个题问的是不是同分异构题?我看到这道题的时候第一时间想到的是这个。

2021年本来还有一道题目,我在网上看到,这里没有展示。很多同学说今年考了一道测量珠峰高度的题目,这也是和时事相关的,在2020年12月份,我们国家重新测量了珠穆朗玛峰的高度,以这个为背景设计了这样一道题目,考察的是立体几何当中求解高度,立体几何加平面解三角形的解题思想。

第三,关注学生身心健康——全面发展。

我们从小接受的是德、智、体、美、劳全面发展,数学这门学科就是智慧教育,需要培养大家的智力。大家关注时事,尤其是去年疫情期间,能够意识到我们国家为这件事情去做努力,做奋斗,包括最近这些年经济发展,包括艺术文化上面的发展,还包括脱贫攻坚等等一系列的事情,我们逐渐意识到国家在进步,国家在逐渐强大,社会地位越来越高,对大家的民族自豪感,对国家的认可非常非常关键,这是属于德行上的培养。

在体育上,首先,全民普及体育,学习肯定是要劳逸结合的,不能死学习,要不然大家的发挥状态也不会那么好。你们现在参加高考的时候,尤其是现在很多学长、学姐正在考场上拼搏,没有一个非常好的身体状态很难在高考中百分之百地发挥自己的状态,高考考的不仅是你会不会做题、会不会答题,考察的是多方面因素的综合。你整体在考场上的临场表现能力、你的精神状态,你今天心情好不好甚至都会影响到你整个这张考卷答得是不是顺利。所以,关注身心健康在整个数学卷子里也体现得非常充分。

比如2019年全国一卷,考察的是篮球决赛的获胜概率问题,感觉和我们现在看到的篮球比赛比较相像,比如打一些总决赛,7场4胜制,还拥有主场优势,比如主场获胜的概率、客场获胜的概率,我们按照这个方式求解出到底能以几比几获胜,获胜的概率是多少,我们对大比分做出预测。

2019年二卷考的是国球乒乓球,同样的道理,以此作为背景设计了概率的问题。

2020年进行羽毛球比赛,连胜四场或者是第五场概率,求丙最终获胜的概率。

这道题比较有意思,这个赛制和大家理解的不太一样,一般都是两个人去PK,这个时候是三个人去PK。第一次抽签丙同学没有被抽中,甲乙打,谁输了谁下去休息,另外一个人上来接着跟他打,输的人下去轮空就可以了。这个赛制我们分析清楚了,解决这道题目的整体难度就不会那么大了。

今年我们在试卷当中也出现了同样类似的问题,因为现在社会普遍关注青少年的视力问题,有很多同学包括我自己的学生,包括我在学生时代,看到我身边的同学也是这样,戴眼镜的同学非常非常多,我不知道是不是真正课业压力非常重的原因,导致现在孩子视觉疲劳,包括很多孩子因为媒体比较发达,手机长时间不离身,成为身体的一部分,长时间注视这些东西对视力非常不好,今年以这个为背景设计题目,还是很有教育意义。题目考察的还是数学的知识,就是你对基础掌握得好不好,能不能通过题干提取出有用的信息,进行计算就可以了。

对第一块做一个小的总结,无论是哪个学科,尤其是对数学这门学科来说,可能大家一直在意识上觉得数学只是计算,逻辑推理能力强就能得到高分。其实并不是,数学这个学科在高考当中不仅仅是选拔人才的考试,更多的是对人综合能力的要求比较高。高考的目的是“立德树人、五育并举”,德智体美劳全面发展。通过做高考题能够感受到和平时练的题目的差别,会发现题目背景往往是更加丰富,引导更多的孩子能够关注到我们身边发生的一些事,关注到我们国家的一些发展,关注到和我们自己本身息息相关的一些内容。

付恒岩:因为很多孩子高考结束之后就要迈入大学的校门,在大学要见到更加宽广的视野,可能会见到更多的人,去到新的城市,见到不同的风景,这个时候可能接收到的信息就更多,有时我们需要在初中、高中阶段培养出自己的一些价值观,当后面突然来的特别多的信息涌向我们的时候,我们会做出好坏的筛选。高考不能说一定百分之百影响到每一位同学,但是教育意义还是非常深远的。

高考试卷真正考察大家的核心能力就是大家的数学学得好不好,虽然我们现在强调素质教育,但是会发现整体在试题上面最近几年的高考试题出得越来越开放。首先是题型上,再加上整个题干的设置上,都是越来越开放,创新力度非常非常大。

比如新高考的试卷结构,以前大家说全国一卷、全国二卷、全国三卷,可能以前考的就是12道单选题、4道填空题,5道简答加上一个选作的选答,一共6道题,相当于这张卷子150分。但是现在新高考的一卷、二卷一出,大家会发现选择题还是12道,但是有了多选,前8道是单选,后面4道是多选。可能以前很多同学喜欢用取巧的方式解决一些问题,但是你会发现如果多选题一出,筛选功能一下子就提升上来了,它对于整个学生能力层次的要求就会更高。你会发现有的同学说我只是做一个答案,维持稳定当然可以,但是这张卷子他就拿不到满分。在解答题部分也取消了选考题的部分,之前学以前人教版教材的时候,会有选修二、选修三、选修四,对于选修四部分的内容,尤其是在现在这个过渡阶段,选修四的整体内容可能都不学,包括“不等式选讲”、“极坐标参数方程”,对于新高考地区的学生可能都不需要去学了。但是今年的高考卷子里还是出现了能够用极坐标或者是参数方程解决问题的,在今年的新高考一卷里出现,最后有一道题目可以给大家展示一下这个方法。也就是说它可能真的是不考了,但是不代表这个方法不出现了,仅仅是这个知识点不会单独拿出来考察。

接下来简单说一说这些题型的变化。

1。举例问题。举例问题灵活开放,今年二卷第14题答案是开放的,包括有多组正确答案的题型陆续出现。

2。结构不良问题适度开放。结构不良问题在去年的高考题中也有出现,给你几个选择,让你选择某一个或者某两个作为条件,让你证明另外一个是结论,或者是从三个选择一个作为条件,看看你能得到某一个参数到底是多少,是这种题型。结构不良性的问题其实在之前也有考察。今年新高考二卷、新高考一卷还有甲卷18题,试题给出部分条件,你要构建一个命题,让大家有更广阔的空间去发挥自己的能力。因为题型的变化避免了很多同学以前对于一个知识点的固有思维,他可能觉得这一个知识点平时练了这么多题型、这么多基础题,可能考察的方向就是这个,或者说见到这个题干甚至就知道这道题要问我什么。但是现在做出这样一个调整,会发现可能以往的死记硬背不一定那么牢靠,可能需要你临场把这个东西思考清楚,考察大家的临场发挥能力可能会更多一些。

3。存在问题有序开放。今年新高考二卷包括新高考一卷的第21题的第二问,都是和“存在问题”相关的,要求同学们对这个题型首先要有一个判断,判断性非常重要,到底能不能发现这里存在的一些矛盾的点。

在去年新高考一卷里出现了“结构不良”问题,题干给了三个条件,在ac= ,csinA=3,c= b这三个条件中任选任选一个(以往我们做的时候可能就是一道题干顺下来,没有让你选择一个),补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值。若不存在,说明理由。这道题需要你选择一个,到底选择哪一个?考试的时候不能说三个都去选,因为底下说“如果多个条件分别解答,按第一个解答计分”。所以,各位同学一定注意,我们在真正做这种题,包括大家在之后练习的时候肯定也会见到这种题。2020年考了这种题型,2021年也考了,可能在2022、2023年还会考这种题型,大家在平时练习的时候,练习册或者是卷子里有这种题型一定要尝试做一做,当然也不是说直接选择一个条件做出来就行了,我们平时练习题的过程中不是为了得到结果而去做,而是为了把这一类题型研究会了才去做,建议大家把这三个条件都带进去,都把结论求一求,这样才是更加关键的。

接下来看一下2021年全国甲卷理科第16题。这是举例问题,问最小正整数的值,考察的是和三角形相关的内容。包括甲卷的第18题,就是“结构不良”问题。刚才说的那道题相当于三选一,放到条件里。而这道题从①、②、③中选取两个作为条件,证明另外一个是成立的。一般同学会怎么选?数列{an}是等差数列,数列{ }是等差数列,第三个条件是a2=3a1

很多同学乍一看这个东西,给了第一个条件,它是等差数列,又给了第一项和第二项的关系,相信很多同学都非常喜欢把第一个和第三个作为条件,从而证明出第二个是一个结论的。这个思路应该是大多数的同学会往这个方面去想。你会发现由第一个式子和第三个式子,很容易得出这个数列的公差,首项和第二项公差是d,d就应该等于2a1,相当于公差是两倍的首项,我们就可以把整个等差数列的通项公式表达出来。通项公式表达出来,整个前n项和sn就可以表达出来,对于根号S我们直接开根号够可以,就能确定它也是一个等差数列。

所以,这种题型重点在于题型的变化,而不在于题目的难度,因为题目的难度本身受知识点的影响,因为它考察的这个知识点是数列问题,不是说百分之百,并不是一个特别难解决的问题,对于很多基础相对来说比较好的同学,可能数列问题是一个必拿分。

付恒岩:但是也不能叫送分题,高考每一道题都不白给分,出高考卷子的人真的非常非常厉害,因为他可能会想到很多事情。包括前面讲的那些,怎么样才能够在这么多的实际发生的生活当中的事情和我们这个题干结合到一起。因为有的时候我们可能在做题的时候,包括我们学校的老师也会跟各位同学强调这件事情,要有出题人的角度,要有出题人思维,站在出题人的角度思考这件事情。这件事情说起来很简单,但是要做到很难,只能是通过我们在平时不断地练习才能够积累出来。这种题目,我们常规做题可能就是给两个条件,另外一个作为结论,我们去证明就可以了,是一道非常简单的题。但是做题型的改变,我们就把这个题拆成几部分,知道两个就能推出来另外一个。

所以,对核心能力的要求还是一如既往地高。因为现在来听的很多同学都是高一、高二的孩子们,要告诉大家,你们的基础真的非常非常关键。在现在这个阶段,你们还没有进入到真正的复习阶段,趁着最开始学基础的时候好好学明白。

我在高一、高二的时候就是属于在班级里面非常淘气贪玩的孩子,班主任老师对我也非常非常有怨言,老师觉得你明明可以做到更好,你为什么不好好学习呢?为什么这么贪玩?所以,最开始的那段时间比较叛逆,尤其是在高一的时候,还和我的爸爸、妈妈朝嘎,那段时间他们让我学我就不想学,基础就非常差劲。其实我当时进入高中的时候成绩还是非常不错的,因为中考满分120分,我考了118分,因为成绩还不错,就成了我们班的数学科代表,但是自从我当了数学科代表,我的数学成绩再也没有考过前几名。同学们,你千万不要学我这样,因为我就是开始没有好好学,导致到高二下学期的时候,真正已经开始要进入一轮复习的时候,我那段时间才开始数学成绩慢慢回暖,当我后面慢慢能考到130多、140多的时候,后面成绩就慢慢趋于稳定。但是你要知道每一个你曾经错过的知识点,你没有学扎实的题型模块,你都要花费无数个夜晚去把它补回来,你会发现你无论怎么样去努力,总感觉比别人慢一点。为什么?因为你开始就是比别人慢了很多,开始的起步一定是很痛苦的,但是我觉得你只要坚持下来,最后的结果一定是会令你满意的。学习这条路上是永远没有捷径,学习真的是要靠自己努力的。很多人都说我要听一些特别厉害的老师去分享一些东西,但是我觉得古话说得好,师傅领进门,修行在个人,你自己的意识提升上去,学会努力,把这件事情做好,你的成绩才可能真的提升上去。而那个时候你再回想你学数学真的是挺快乐的,虽然感觉数学虐我千百遍,我待数学如出恋。这个过程真的非常美好。

所以,对核心能力的要求,高考一直没有发生改变,大家一定要趁现在把基础好好学一学,平时一定要克服掉懒惰这个毛病。很多同学有这样一个点,他什么都行,让我看也行,我就不喜欢做,就不喜欢写,也不愿意动笔,就看。其实这是不对的,因为会发现下笔才会有真正的收获,你只去看,只靠记,那高中记的东西那么多,不仅仅有数学这一门学科,还有其它的学科。要是学文科的同学,每天要背很多很多东西,更可怕。所以,趁着现在的时间还很多,还要努力。对于准高三的同学,可能现在已经开始一轮复习了,就把这个机会好好把握好,多学几遍基础知识,千万不要觉得书本是没有用的,其实真正对概念理解得到位不到位就在于你对某个知识点看得透不透彻。有时你忽略了几个字,忽略了几个括号里写的内容,可能这个知识点就看不到了。

三、高考的宗旨,落实我们的核心素养要求,对学生的数学抽象能力要求非常非常高,还有逻辑推理能力,证明怎么样才能逻辑严谨,能拿到步骤分。比如像立体几何的问题,怎么样能一步一步非常严谨地把最终的结论要证明平行、垂直、角度等等一系列的关系推导出来,逻辑推理能力要求是非常高的。包括数学建模能力,图表类的问题,包括结合疫情期间的时事问题,给了你这个数学模型,你要根据给到你的数学模型,肯定你在高中正常学习的阶段,课本上可能见不到这个图表,就是在考场上给了你这么多事例,你怎么能利用现有的结论临场把这道题的最终结果算出来。这是要求这部分的能力比较高。

数学运算能力是核心关键,高考卷子是一个选拔性的考试,两个小时的时间需要答完150分的题目,相当多一部分同学在高考中会放弃掉很多题,就是因为各种原因,无论是你的基础不够扎实,最后呈现在卷面上就是答题的速度比别人慢很多,你没有合理规划好你的时间。没有规划好时间的前提是你得把基础打牢,但是如果你的计算能力本身就没有做得特别好,何谈去安排时间?你可能这张卷子你答完都是非常着急的。

以我自己为例子,我高考的时候,当时我们是估分,因为我们可以凭自己的印象记一些答案,当天考完试立刻要把自己能记住的东西写在纸上,因为我们是要估分报考学校的。那段时间我对高三我自己学数学的那段经历是,我能够在前期准备的时候非常准确,可以慢一点,可以把题目做到非常扎实,哪怕前面的填空选择多花一点时间,但是要确保它做对,因为没有第二次检查的时间。但是到后面我练的题目越来越多的时候,你发现这张卷子你是可以安排自己的时间的。当你可以安排、控制自己的时间哪一部分可以达到多长时间的时候,我当时的填空选择应该是23分钟左右就答完了,也就是说后面留给我自己答题的时间有一个半小时,时间非常充裕。最后我答完卷,感觉思路泉涌,随便写,那段时间感觉时间多的很,我可以慢慢把我的步骤尽可能细致一些,尽可能不要出现加减号或者是漏写项这种环节。

所以,一般情况下建议各位同学,一定要把运算能力提升上去,因为这个能力的提升对于你能否在考场上真的百分之百发挥自己的状态,是有非常好帮助的。我最后高考答完卷子还有10分钟的时间,就趁这10分钟的时间检查一遍,顺便看看每一个题型的选项当时我的思路是怎么样的,怎么选。虽然不可能面面俱到,但是整张卷子检查完了之后,我更踏实,也更加有自信心,第二天准备理综的考试,我就非常放心,考完这一科我就放下不用再担心。可能很多同学在考完了之后特别喜欢对答案,千万不要,尤其是像数学这门考试。所以,今天我们也不会给大家去讲关于题目的答案等等,只讲方法,只讲技巧,只讲它里面蕴含的一些东西,真正它想呈现给我们的东西是什么。

包括我们在最后给大家准备两道题目,简单地讲一讲,但是也不会给大家列太多的过程。因为对于很多新高考地区的同学明天还要考两科。

还有直观的想象能力以及数据分析能力,数据分析能力也是现在要求比较高的,像概率统计,包括现在是大数据时代,对数据分析型人才需求都非常非常高,这部分的考察也便于对这部分的学生做一个筛选。

高考对于很多同学来说,尤其是现在还是学生,还没有经历过这件事情,会觉得是非常可怕的事情,谈之色变,谈到高考非常紧张。其实没有这个必要,你只要前期准备得足够充分,在高考当中真的是可以很自如。

所以,奉劝各位屏幕前的小伙伴们,一定要现在就开始加油。大家都说“台上一分钟,台下十年功”,你展现给别人面前的是一个特别光鲜的一面,背后要付出非常多的努力。

最后一个环节,给大家简单看两道题目。

这两道题目都是选自今年新高考一卷的题,一个是第20题,是立体几何的问题。还有一道是21题,是圆锥曲线的问题。这两道题目都挺具有代表性。

首先简单看一下这道题的第一问,第一问不是特别难,因为考察的就是线线垂直,证明OA和CD是垂直的,只需要证明OA和底下BCD的面是垂直就可以了。我们先利用AO和BD垂直,因为三角形ABD是一个等腰三角形,只要证明出线和底下的面是垂直就可以了,第一问相对简单。主要在于这道题的第二问。

我们在解决立体几何的时候,很多同学在学校学的常规方法都是建系。我们在这个立体几何当中,合理地建立一个空间直角坐标系,利用空间销量法直接把这个倾角表示出来,这里需要设出A点的坐标是多少,从而利用A点的坐标表示出E点的坐标。

利用这种方法思路上可能更好理解,因为大家都是按照这个方法去分析的。我在学生时代甚至有这种感觉,用这种方法可能不需要更多的逻辑推理,不需要更多的思考,只需要计算能力过关,更仔细一些就可以。在你的考卷上尽量不要出现字迹潦草、写得别人看不清的状况就完全OK。但其实这道题我们用常规的逻辑分析其实是最快的,接下来就简单看一看。

(演示解题过程)

这里面我们只需要引两条辅助线就够了。大家可以发现这个图形里面AB和AD是相等的,底面告诉我们OCD是一个等边三角形,边长为1。这个位置告诉我们O点,其实相当于可以推出来O点是BD的中点,这两边相等。这条边相当于等于BD的一半,很容易可以推出来60度、120度,这个角就是30度。再加上这个60度,整个BCD这个角是90。

这道题告诉我们的其实是这里面的二面角,也就是EBCD这个二面角是45度。ABD和整个底面是垂直的,可以过E点向里面做一个垂线,垂足刚好落在BD这个位置,假设这个点是点F。接下来我们再过E点或者过F点做整个BC的垂线,把它一连,二面角的大小已经出来了。告诉我们这个二面角是45度,接下来无论怎么证都非常容易。我们很容易证明出来三角形EFG应该和整个三角形EFD是全等的。

当然这个全等怎么去证明?首先来看它们俩拥有一个公共边,还有一个共同的90度的直角,只需要证明GF和FD相等就可以了。题干当中还给了我们一个条件,这里的E点是整个AD的三等分点中靠近A点的这个,相当于两边的比例关系是1:2,DE的长度是AD的三分之二。注意观察,因为EF和整个BD做的垂直,可以发现三角形AOD和三角形EFD是相似的,这俩如果是相似的,我们可以发现相似比,也就是整个DF和整个DO的长度比例关系也就是三分之二。这个比例关系搞定了,接下来再来看整个CD的长度,题干当中已经给到我们,就是1,意味着整个DO的长度也是1,FD的长度其实就可以确定,长度就是三分之二。它的长度是三分之二,接下来只需要再说明这段长度也是三分之二就可以。因为刚才已经证出来,BD的长度是2,因为底面相当于BCD是一个含有30度内角的直角三角形,整个BO的长度刚好等于2,BF比上BD的长度比例关系也刚好是2/3。我们发现点G和点F刚好是平行于CD的,因为这是垂直,也就是FD是2/3,BF是4/3,出现2:1的关系。GF就能确定,GF比CD,CD是1,GF长度也是2/3,这样就可以把整个EFG和EFD的全等关系拿出来,全等关系拿出来,角EGF是45度,角EDF也是45度。

按照这个方式我们就可以把题求出来,因为DO的长度是1,整个AO的长度是1,因此整个三棱锥的高度就求出来了。最后求解的是体积,就不给大家算了,最后这个体积大家可以自己算一算。这是第二问的简单思路。不用建系的方法我个人感觉比较好。

下面一道题目,是一道解析几何的问题。这道题目在很早之前就有过预警,不能说百分之预警。前段时间八省联考里,我们在解析几何的位置考察的就是双曲线的知识。对于很多备考的学校来说,大家准备的更多的在解析几何部分可能都是像抛物线、椭圆,一般很少准备双曲线,因为在高考当中非常非常少见在大题部分出现,但它还是出现了。我也不知道大家想不想看到,但是它真的真真实实出现。这道题考察也有一些小的坑点,包括技巧方法上面也是大家意想不到的。

首先看一下这道题的第一问,比较简单。很多同学一看到这个题,第一问是能够拿分的绝对值MF1-绝对值MF2=2,知道是双曲线的定义,直接把双曲线的方程求出来了。

直播回顾:学而思老师解析2021年高考数学

结果等于1,很多同学都写的这个答案,但其实是不对的。为啥?因为我们注意发现整个M点,它说点M满足的是FF1减MF2,整个外面是没有绝对值的,我们在定义里要求是严格要求有绝对值才叫双曲线,而这个对应的只是双曲线的右边的那一只。所以,很多同学在这个地方这一问就会扣分。

第二问,再一次出乎大家的意料。首先,如果你是真正用常规方法去求解,完全没问题,但是对于计算量的考察是非常非常大的,你的计算能力必须得过关,第二问才能真真正正拿到满分。可能需要我们去设方程连立,涉及到两个直线方程,一个是AB,一个是PQ,过程非常多,非常复杂,不多说。

这道题还有一种解题思路,在过渡阶段我们把整个选修四系列的知识全都删掉,但是这道题的第二问其实可以用参数方程法很快求解出来,我们简单写一些过程。

我们一定要注意,虽然很多时候知识点删掉了,但是并不代表这个方法不会再出现。

整体来看,这道题目虽然大家用常规方法完全能够求解出来,但是它的计算量应该要比这个过程复杂一些,对于大多数同学来说,千万注意,虽然在过渡阶段我们扔掉了很多所谓的考点、知识点,但是这些方法其实在真正的考试当中一定还是会有可能出现的。这道题给大家提了一个醒,八省联考已经提前预警,我们已经考了双曲线,今年又考了。虽然考的并不是完整的双曲线,很多同学可能会因为这个地方扣到一部分分数。

我这部分的展示就结束了。

主持人:感谢付老师,请您为2022届的考生们复习数学提一些小建议。

付恒岩:对于2022届的考生,你们马上要进入到高三,其实现在你们已经是高三的学生,明天只要一结束,你们全部都是高三的孩子。

进入到高三,第一,可能你们面临的倒计时就越来越快了。我个人感觉一轮复习阶段对很多同学来说真的是可以去进行逆袭或者是翻盘的时间节点。虽然这一段时间很多同学会觉得我的成绩之前一直都没有进步,我后面是不是已经没有机会了。大家千万不要这么想,学习这件事情开始一定是会非常难的,可能我们每一个同学都进行过很多次的尝试,但是每一次的尝试也就是浅尝辄止,可能很多同学并没有体会学习带来收获的乐趣的时候就已经放弃了,他会觉得这段时间我熬不过去了。但是你要记住,学习这件事情是大家目前最紧急且必要的事情,你们现阶段的任务就是把迎接大考这件事情准备好。虽然高考并不能决定一个人未来人生的全部,但是高考作为咱们对于整个小初高过去这十几年学习生涯的一个交代,你怎么样把这个结尾写好是很关键的。古人常说“行百里者半九十”,我们在这个阶段已经付出了那么多的努力,最后这一年更要咬咬牙挺过去。

对于很多高三的学生,我对学习上,尤其是数学这个学科的建议,希望大家可以在高三一轮复习的时候一定一定还是要强调基础,因为你会发现高考题虽然不停地在变,不停地在更新,可能开放性怎么怎么样,都可能会出现,但是万变不离其宗,它考察的都是你的知识的掌握运用能力,你对于知识掌握得足够扎实,你想怎么用就怎么用。所以,根本不用在乎这个题型难或偏,难或偏对每个人都是一样的,但是你学得好不好和别人学得好不好是不一样的,这是你自己的努力能够决定的事情。

所以,一轮复习的时间有的学校可能已经开始了,有的学校进度相对快一些,有的相对慢一些。比如有的正在学一些统计概率部分的内容,你会发现统计概率最近这几年也会考察得非常非常多,所以现在也要好好学。

一轮复习期间还是要多做题、多刷题,千万不要因为懒惰或者是其它科目耽误了,一定要保证每天的做题时间,每天做题的量,可以提前给自己做一个好的学习规划。可能刚开始并不擅长做这件事情,但是你做完规划之后及时调整,比如这次规划,安排一天做十套卷子,但是根本完不成,怎么办?就调整一下,适合你自己的,但是也不要让自己太过放松,也不要让自己太累,保持一种紧张感。适度的紧张非常有助于你在考场上能够把自己的状态发挥出来,因为你适度紧张,你的神经稍微不会那么放松,太放松了可能那个状态也不是特别好。

我这个人是一个特别阳光、特别乐观的人,无论什么事情泰山崩于前不改色,心态超级好,我自认为我当年的高考虽然说可能并没有像别人那么优秀,但是我个人感觉我的心态是我发挥得好的重要原因。只要心态好,你会觉得高考就跟平时一样,平时要像高考一样。我个人感觉高考当中还是要正式看待的,你在考场听到考试开始的那一瞬间,你的状态能够发挥得如何,这个才是最重要的。你前期的练习,反复的模拟是必不可少的。

所以,我们打仗一定要打有准备的仗,我们把什么事情都准备好了,最后一场仗一定要打得漂亮,也能打得赢。

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